ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА

годового курса лекций «Интервальный анализ»
кафедры математического моделирования ММФ НГУ

Введение
Предмет и метод интервального анализа. Мотивации и практические постановки, приводящие к интервальным методам. Понятие об интервальных величинах. Независимость и связанность интервальных величин.
Интервалы в сравнении с теоретико-вероятностным и нечётким способами описания неопределённости.
Интервальные арифметики
Классическая интервальная арифметика, её алгебраические свойства. Основная теорема интервальной арифметики.
Мотивации пополнения классической интервальной арифметики. Полная интервальная арифметика Каухера и её алгебраические свойства. Минимаксный характер интервальной арифметики Каухера.
Интервальные векторы и матрицы
Интервальные векторы и матрицы, введение операций между ними. Свойства интервальных векторно-матричных операций. «Эффект обёртывания» и его всеобщность.
Задание топологии на интервальных пространствах. Нормы интервальных векторов. Теорема Шрёдера о неподвижной точке.
Особенные и неособенные интервальные матрицы. Признаки Бека, Рона-Рекса, Румпа. Сильно неособенные интервальные матрицы.
Интервальные методы вычисления областей значений функций
Понятие интервального расширения функции. Его связь с задачами оптимизации. Естественное интервальное расширение, его асимптотическая точность. Центрированные формы интервальных расширений и их точность. Теорема Кравчика-Ноймайера. Среднезначные формы.
Интервальные методы глобальной оптимизации.
Интервальные систем линейных алгебраических уравнений
Множества решений интервальных линейных систем и их строение. Необходимость оценивания и постановки задач. Внешнее оценивание, его связь с задачами чувствительности. Трудоёмкость решения различных постановок, её влияние на классификацию интервальных численных методов.
Интервальный метод Гаусса. Интервальный метод Гаусса-Зейделя. Формальный подход. Предобуславливание. Стационарные итерационные методы. Метод Кравчика.
Внутреннее оценивание множества решений, его приложение к задачам идентификации.
Оптимальное внешнее оценивание множеств решений
Простейший пассивный переборный метод. Альтернатива Янссона. Теорема Бека-Никеля. Теорема Рона об экстремальных решениях.
Методы дробления решений. Методы дробления параметров. Финально гарантирующие алгоритмы и последовательно гарантирующие алгоритмы.
Обобщённые множества решений
Двойственный характер интервальной неопределённости, её различные типы. Кванторный формализм и понятие об обобщённых множествах решений интервальных задач. Теоретико-игровая интерпретация, приложения к задачам обеспечения надёжности и живучести систем.
Множества AE-решений интервальных уравнений и неравенств.
Формальный подход к внешнему и внутреннему оцениванию множеств AE-решений интервальных систем уравнений.
Задача о допусках для интервальных систем уравнений
Линейная задача о допусках и её инженерные интерпретации. Экономические приложения на примере уравнения Леонтьева.
Свойства допустимого множества решений. Теорема Рона о допустимом множестве решений. Грубое исследование разрешимости.
Распознающий функционал и полное исследование разрешимости.
«Центровой» подход к построению бруса решений линейной задачи о допусках.
Вычисление формальных решений интервальных систем уравнений
Стационарные одношаговые итерационные методы. Теорема Зюзина.
Погружение в линейное пространство. Абсолютно неособенные матрицы. Субдифференциальный метод Ньютона. Существование формальных решений.
Интервальные методы для нелинейных уравнений и систем уравнений
Постановки задач. Доказательное решение уравнений и систем уравнений.
Интервальный метод Ньютона, одномерный и многомерный варианты.
Методы Кравчика и Хансена-Сенгупты. Понятие о методах распространения ограничений.
Глобальное решение систем нелинейных уравнений. Ограничение области рассмотрения аналитическими и полуаналитическими процедурами.

В рамках курса предполагаются практические занятия по решению на ЭВМ ряда интервальных задач, а в качестве среды программирования будет использоваться системы компьютерной математики Matlab и Scilab и их интервальные расширения INTLAB и Int4Sci соответственно (подробности о них – в разделе «Программирование» нашего сайта).

Лектор —
доктор физико-математических наук
профессор кафедры математического моделирования НГУ
С.П. Шарый