Интервальный анализ

и его приложения

23:32    Пятница    21 Июль 2017

Исторические заметки

Истоки интервального анализа, как, видимо, и любой глубокой и плодотворной идеи, могут быть прослежены задолго до фактического оформления соответствующего научного направления. Наиболее куръёзной является на этот счёт точка зрения, высказанная изобретателем термина «интервальный анализ» американцем Р.Э. Муром [19] и состоящая в том, что первым «интервальщиком» следует считать Архимеда, широко использовавшего в своих расчётах двусторонние приближения, в частности, для определения границ числа π – отношения длины окружности к её диаметру.

Так или иначе, но развитие «интервальной идеи» состоялось лишь в XX веке, причём оно оказалось тесно связанным с развитием и распространением практических вычислений. А оформление интервального анализа в самостоятельную научную дисциплину вообще стало возможным лишь с появлением ЭВМ.

В 1931 году англичанка Розалинда Янг [25] разработала арифметику для вычислений с множествами чисел. В 1951 году П. Двайер [12] в США рассматривал специальный случай замкнутых интервалов (числовые диапазоны) в связи с необходимостью учёта погрешностей в численном анализе. В 1956-58-м годах появились работы Мечислава Вармуса в Польше [24] и Теруо Сунаги в Японии [23], предлагавшие классическую интервальную арифметику и намечавшие её приложения. При этом в [23] впервые были использованы и современные термины «интервал», «интервальный». Кроме того, Т. Сунага заложил основы интервального алгебраического формализма и дал весьма нетривиальные примеры применений новой техники, к примеру, в численном решении алгебраических уравнений и задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. по этому поводу также исследование [17]).

1959-м годом датируется начало многосторонней деятельности Раймона Э. Мура [18], написавшего в 1966-м году первую систематическую монографию по интервальному анализу [19]. Ясный и свежий язык этой книги, новые интересные постановки задач, поучительные применения интервальной техники – всё это оказало громадное влияние на становление и развитие нового научного направления во всём мире. Перу Р.Э. Мура принадлежат также современные книги по интервальному анализу [20,21], причём издание последней было задумано как переработка и осовременивание классической книги [19].

В России и Советском Союзе «интервальную» историю можно отсчитывать с 20-х годов прошлого века, и связана она с именем замечательного русского советского математика и педагога В.М.Брадиса.

Владимир Модестович Брадис известен всем школьникам нашей страны своими математическими таблицами. Но мало кому известна другая, гораздо более серъёзная сторона его научно-педагогической деятельности. С середины 20-х годов прошлого века он проповедовал так называемый метод границ – способ организации вычислений, приводящий к достоверным двусторонним границам точного значения вычисляемого результата, фактически аналогичный интервальной арифметике. Работая в Тверском Педагогическом институте, он выступал с научно-методическими произведениями на эту тему, в частности,

В докомпьютерную эпоху «метод границ» имел мало шансов на широкое воплощение в вычислительной практике, так как требовал увеличения числа выполняемых операций и скрупулёзного их выполнения. Тем не менее, идеи В.М.Брадиса были замечены и его статья «Устный и письменный счёт. Вспомогательные средства вычислений» была внесена в «Энциклопедию элементарной математики» [11]. Параграф 8 этой статьи содержит чёткое изложение учёта погрешностей вычислений по «методу границ», который В.М.Брадис рекомендовал даже для изучения и использования в средней школе. «Энциклопедия элементарной математики» была переведена на немецкий язык в Германской Демократической Республике [13], и, кроме того, переведена и издана в Японии, став, таким образом, известной за пределами нашей страны. Интересно отметить, что основные идеи «метода границ» упомянуты также в известном учебнике по вычислительной математике [2] (Глава 1, §19).

Интересный рассказ о жизни и деятельности В.М.Брадиса можно найти, например, в книге Н.В.Богомолова «Очерки о российских педагогах-математиках» (Москва, издательство «Высшая школа», 2006). К сожалению, в нём почти не отражена «интервальная» составляющая научно-педагогической деятельности В.М.Брадиса.

В 1962-м году в одном из первых выпусков «Сибирского математического журнала» появилась статья Леонида Витальевича Канторовича [6], обозначившего эту тематику как приоритетную для нашей вычислительной науки. Она написана чрезвычайно ясно и чётко, будучи кратким конспектом лекций, прочитанных автором в Ленинграде, Москве и Киеве. Замечательно, что в этой статье, где новое научное направление ещё не называется явно, но рельефно очерчивается, акцент в приложениях нового подхода делается как на повышении точности и надёжности численных алгоритмов, так и на перспективах развития аппарата для оперирования с ограниченными неопределённостями.

К тому времени Л.В.Канторович был уже признанным экспертом в области вычислительной математики, функционального анализа и его приложений. В течение ряда лет он руководил Отделом приближённых вычислений Ленинградского отделения Математического Института АН СССР, одновременно работая в Ленинградском университете на кафедре вычислительной математики математико-механического факультета. В 1960 году Л.В.Канторович уехал из Ленинграда в Новосибирск, взяв с собой группу сотрудников, и вскоре был избран действительным членом Академии Наук СССР по Сибирскому Отделению. Хотя в Новосибирске Л.В.Канторович стал основателем кафедры вычислительной математики НГУ, обстоятельства заставили его переменить область научных интересов и больше к «интервальной теме» он не обращался. Сохранились, тем не менее, свидетельства о том, что отмеченная статья подводила определённый итог интенсивной работы Л.В.Канторовича над новым научным направлением (см. статью проф. Г.Г.Меньшикова [8]).

Создание настоящей школы исследователей по интервальным вычислениям в СССР стало заслугой других людей – выдающегося советского математика и механика, многолетнего директора Института теоретической и прикладной механики Сибирского Отделения Академии Наук академика Николая Николаевича Яненко и его ученика Ю.И.Шокина. Сам Н.Н.Яненко имел немного работ по этой тематике, но лично создал интервальную группу, поддерживал и лелеял новое направление у себя в Институте теоретической и прикладной механики в Новосибирске. Н.Н.Яненко был редактором первой на русском языке книги [11] по интервальному анализу, написанной Ю.И.Шокиным.

Для введения в различные вопросы интервального анализа и его приложения можно порекомендовать читателю книги [1], [4], [5], [10], [11], [14]-[16], [19]-[22]. Электронные версии некоторых из них выложены в раздел «Электронная библиотека» нашего сайта.

Благодарим проф. Г.Г.Меньшикова (Санкт-Петербургский университет) за любезно предоставленные им материалы.

Литература